Sau Bức Màng Nhung Bà xã My là Găng Tơ: Thuật toán tìm ma trận bậc thang

ước 1: Kiểm tra $a_{11} \ne 0$ ?

1.1 Nếu $a_{11} = 0$ và $a_{i1} \ne 0$ , ta đổi chỗ vị trí hàng 1 và hàng i.

1.2 Nếu $a_{11} \ne 1$ và $a_{k1} = 1$ , ta đổi chỗ vị trí hàng 1 và hàng k để cho bước 2 đơn giản.

1.3 Nếu tất cả các phần tử của cột 1 bằng 0 thì cột 1 coi như bước 2 đã hoàn thành, chuyển sang bước 3.

Bước 2: Khử tất cả các phần tử của cột 1 dưới $a_{11}$ bằng phép biến đổi:

$h_i \to h_i - { \dfrac{a_{i1}}{a_{11}}} h_1 , (i = 2, 3, ... m)$

Khi đó, ma trận sẽ có dạng:

Chuẩn hóa cột 1 để đưa về dạng b�c thang dòng

Chuẩn hóa cột 1 để đưa về dạng bậc thang dòng

Bước 3: Kiểm tra $b_{22} \ne 0$ ?

1.1 Nếu $b_{22} = 0$ và $b_{j2} \ne 0 (j > 2)$ , ta đổi chỗ vị trí hàng 2 và hàng j.

1.2 Nếu $b_{22} \ne 1$ và $b_{k2} = 1$ , ta đổi chỗ vị trí hàng 2 và hàng k để cho bước 4 đơn giản.

1.3 Nếu tất cả các phần tử của cột 2 (từ $b_{22}$ trở xuống) bằng 0 thì cột 2 đã được chuẩn hóa, coi như bước 4 đã hoàn thành

Bước 4: Khử tất cả các phần tử của cột 2 ở dưới $b_{22}$ bằng phép biến đổi:

$h_i \to h_i - { \dfrac{b_{i2}}{b_{22}}} h_2 , (i = 3, ... m)$

Ma trận đưa về dạng:

Chuẩn hóa cột 2

Tiếp tục quá trình trên cho phần tử $c_{33}$ , phần tử ở dòng 4, cột 4; … ta sẽ đưa ma trận về dạng bậc thang dòng.

Ví dụ: Đưa ma trận sau về dạng bậc thang:

$\left ( \begin{array}{ccccc} 0 & 4 & 1 & 10 & 3 \\ 4 & 8 & 7 & 18 & 35 \\ 10 & 18 & 17 & 40 & 83 \\ 1 & 7 & 3 & 17 & 9 \\ \end{array} \right )$

Bước 1: Phần tử $a_{11} = 0 , a_{i1} \ne 0 , (i = 2, 3, 4)$ . Tuy nhiên $a_{41} = 1$ nên ta hoán đổi vị trí dòng 1 và dòng 4. Ta có:

$\left ( \begin{array}{ccccc} 1 & 7 & 3 & 17 & 9 \\ 4 & 8 & 7 & 18 & 35 \\ 10 & 18 & 17 & 40 & 83 \\ 0 & 4 & 1 & 10 & 3 \\ \end{array} \right )$

Bước 2:Lần lượt thực hiện các phép biến đổi: $h_2 \to h_2 - 4h_1, h_3 \to h_3 - 10h_1$ . Ta có:

$\left ( \begin{array}{ccccc} 1 & 7 & 3 & 17 & 9 \\ 0 & -20 & -5 & -50 & -1 \\ 0 & -52 & -13 & -130 & -7 \\ 0 & 4 & 1 & 10 & 3 \\ \end{array} \right )$

Bước 3: Xét giá trị ở dòng 2, cột 2. Ta thấy $a_{22} = -20$ là 1 số khá lớn. Nếu để nguyên như thế thì các bước sau chắc chắn xuất hiện phân số. Điều này làm cho bài toán rối rắm hơn.

Nhận thấy: 20 và 52 đều cho hết cho 4 nên ta đổi chỗ dòng 2 và dòng 4. Ta có:

$\left ( \begin{array}{ccccc} 1 & 7 & 3 & 17 & 9 \\ 0 & 4 & 1 & 10 & 3 \\ 0 & -52 & -13 & -130 & -7 \\ 0 & -20 & -5 & -50 & -1 \\ \end{array} \right )$

Bước 4: Lần lượt thực hiện các phép biến đổi: $h_3 \to h_3 + 13h_2, h_4 \to h_4 + 5h_2$ . Ta có:

$\left ( \begin{array}{ccccc} 1 & 7 & 3 & 17 & 9 \\ 0 & 4 & 1 & 10 & 3 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 32 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 14 \\ \end{array} \right )$

Tiếp theo, ta chia dòng 3 cho 32 và chia dòng 4 cho 14. Ta có:

$\left ( \begin{array}{ccccc} 1 & 7 & 3 & 17 & 9 \\ 0 & 4 & 1 & 10 & 3 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ \end{array} \right )$

Bước 5: Xét giá trị ở dòng 3, cột 3.

Nhận thấy các phần tử $a_{33} = 0, a_{43} = 0$ nên cột 3 đã được chuẩn hóa.

Do đó, ta chuyển sang chuẩn hóa cột 4 bằng cách xét phần tử $a_{34}$

Do $a_{34} = 0$ , và $a_{44} = 0$ nên ta cột 4 đã được chuẩn hóa. Ta chuyển sang cột 5. Lấy dòng 4 trừ dòng 3.

Ta có:

$\left ( \begin{array}{ccccc} 1 & 7 & 3 & 17 & 9 \\ 0 & 4 & 1 & 10 & 3 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ \end{array} \right )$

Sau bước này ta đã có được ma trận bậc thang dòng. Vậy ta đã có dạng bậc thang

Để chuyển về ma trận bậc thang chính tắc. Ta tiếp tục thực hiện các phép biến đổi trên cột như sau:

Bước 6: Bằng cách thực hiện phép biến đổi: $c_2 \to c_2 -7c_1$ , $c_3 \to c_3 - 3c_1$ , $c_4 \to c_4 - 17c_1$ , $c_5 \to c_5 - 9c_1$ . Ta có:

$\left ( \begin{array}{ccccc} 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 4 & 1 & 10 & 3 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ \end{array} \right )$

Bước 7: Đổi chỗ cột 2 và cột 3. Ta có:

$\left ( \begin{array}{ccccc} 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 4 & 10 & 3 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ \end{array} \right )$

Bằng cách thực hiện phép biến đổi: $c_3 \to c_3 -4c_2$ , $c_4 \to c_4 - 10c_2$ , $c_5 \to c_5 - 3c_2$ . Ta có:

$\left ( \begin{array}{ccccc} 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ \end{array} \right )$

Bước 9: Do xuất hiện cột không nên ta cần đổi chỗ cột 3 và cột 5. Mục đích để cột không nằm ở vị trí cuối cùng. Ta có:

$\left ( \begin{array}{ccccc} 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ \end{array} \right )$

Vậy ta có dạng ma trận bậc thang chính tắc:

1. Khái niệm ma trận nghịch đảo (matrix inversion):
1.1 Định nghĩa 1:

Ma trận vuông I cấp n được gọi là ma trận đơn vị nếu A.I = I.A = A, với mọi ma trận vuông A cấp n

Ta nhận thấy ma trận trên là tồn tại. Thật vậy, ma trận thỏa điều kiện trên có dạng sau:

Ma trận đơn vị cấp n

Ngoài ra, ma trận đơn vị là duy nhất. Thật vậy, giả sử có hai ma trận đơn vị I và I’. Ta có:

Vì I là ma trận đơn vị nên I.I’ = I’.I = I’

và I’ là ma trận đơn vị nên I’.I = I.I’ = I

Vậy: I = I’

1.2 Định nghĩa 2:

Cho A là một ma trận vuông cấp n trên K. Ta bảo A là ma trận khả nghịch, nếu tồn tại một ma trận B vuông cấp n trên K sao cho: A.B = B.A = I_n.Khi đó, B được gọi là ma trận nghịch đảo của ma trận A, ký hiệu A^-1.
Như vậy: A.A^-1= A^-1.A= I_n

1.3 Nhận xét:

1. Ma trận nghịch đảo là duy nhất, vì giả sử tồn tại ma trận C vuông cấp n cũng là ma trận nghịch đảo của A. Ta có: A.C = C.A = I_n, thì: B = B.I_n = B(A.C) = (B.A).C = I_n.C = C

2. Hiển nhiên: (A^-1)^-1= A, nghĩa là A lại là ma trận nghịch đảo của A^-1

3. Trong giáo trình này, ta chỉ xét sự khả nghịch của ma trận vuông. Tuy nhiên, hiện tại, có nhiều giáo trình nước ngoài đã đề cập đến khái niệm khả nghịch của ma trận bất kỳ.

Thật vậy, cho A là ma trận cấp m x n trên trường số K. Khi đó, ta bảo A là khả nghịch trái nếu tồn tại ma trận L cấp n x m sao cho: L.A = I_n.; A là khả nghịch phải nếu tồn tại ma trận R cấp n x m sao cho: A.R = I_m. Và khi đó, dĩ nhiên A khả nghịch nếu A khả nghịch trái và khả nghịch phải.

4. Ma trận đơn vị là khả nghịch, Ma trận không không khả nghịch.

5. Tập hợp các ma trận vuông cấp n trên K khả nghịch, được ký hiệu là GL_n(K).

1.4 Các ví dụ:

Xét các ma trận vuông thực, cấp 2 sau đây:

Ta có: A.B = B.A = I₂. Do đó: A, B là khả nghịch và A là nghịch đảo của B; B là nghịch đảo của A

Ma trận C không khả nghịch vì với mọi ma trận vuông cấp 2 ta đều có:

Nhận xét: Ma trận có ít nhất 1 dòng không (hoặc cột không) đều không khả nghịch.

2. Tính chất:

1. Nếu A, B là khả nghịch thì ma trận tích AB là khả nghịch và (AB)^-1= B^-1. A^-1

2. Nếu A khả nghịch thì A^Tkhả nghịch và (A^T)^-1= (A^-1)^T

(Bạn hãy thừ chứng minh kết quả trên nhé)

3. Mối quan hệ giữa ma trận khả nghịch và ma trận sơ cấp:

3.1 Ma trận sơ cấp: Ma trận E vuông cấp n trên K (n ≥ 2) được gọi là ma trận sơ cấp dòng (cột) nếu E thu được từ ma trận đơn vị I_nbời đúng 1 phép biến đổi sơ cấp dòng (cột). Các ma trận sơ cấp dòng hay cột gọi chung là ma trận sơ cấp.

3.2 Tính chất: Mọi ma trận sơ cấp dòng (hay cột) đều khả nghịch và nghịch đảo của nó lại là một ma trận sơ cấp dòng.

Ta có thể kiểm tra trực tiếp kết quả trên bằng thực nghiệm:

Ma trận sơ cấp dạng 1: nhân 1 dòng của ma trận đơn vị với α ≠ 0

Ma trận sơ cấp dạng 1

Ma trận sơ cấp dạng 2: cộng hàng i đã nhân với λ vào dòng j

Ma trận sơ cấp dạng 2

Ma trận sơ cấp dạng 3: Đổi chỗ dòng i và dòng j

Ma trận sơ cấp dạng 3

3.3 Định lý:

Cho A là ma trận vuông cấp n trên K (n ≥ 2). Khi đó, các khẳng định sau đây là tương đương:

1. A khả nghịch

2. I_nnhận được từ A bởi một số hữu hạn các phép biến đổi sơ cấp dòng (cột)

3. A là tích của một số hữu hạn các ma trận sơ cấp

(Bạn đọc có thể xem chứng minh định lý này trong ca1c giáo trình về ĐSTT)

3.4 Hệ quả:

Cho A là ma trận vuông cấp n trên K (n ≥ 2). Khi đó, các khẳng định sau đây là tương đương:

1. A khả nghịch khi và chỉ khi dạng chính tắc của A là In

2. Nếu A khả nghịch thì I_nnhận được từ A bởi một số hữu hạn các phép biến đổi sơ cấp dòng (cột); đồng thời, chính dãy các phép biến đổi sơ cấp dòng (cột) đó sẽ biến I_nthành nghịch đảo của ma trận A.

4. Thuật toán Gausβ – Jordan tìm ma trận nghịch đảo bằng phép biến đổi sơ cấp:

Ta sử dụng thuật toán Gausβ – Jordan để tìm nghịch đảo (nếu có)của ma trận A vuông cấp n trên K. Thuật toán này được xây dựng dựa vào kết quả thứ 2 của hệ quả 3.4. Ta thực hiện các bước sau đây

Bước 1: lập ma trận n hàng, 2n cột bằng cách ghép thêm ma trận đơn vị cấp n I vào bên phải ma trận A

Lập ma trận chi khối cấp n x 2n

Bước 2: Dùng các phép biến đổi sơ cấp dòng để đưa [ A|I ] về dạng [ A' | B ], trong đó A’ là một ma trận bậc thang chính tắc.

- Nếu A’ = In thì A khả nghịch và A^-1= B

- Nếu A’ ≠ In thì A không khả nghịch. Nghĩa là, trong quá trình biến đổi nếu A’ xuất hiện ít nhất 1 dòng không thì lập tức kết luận A không khả nghịch (không cần phải đưa A’ về dạng chính tắc) và kết thúc thuật toán.

Ví dụ minh họa: Sử dụng thuật toán Gausβ – Jordan để tìm ma trận nghịch đảo của:

$\left ( \begin{array}{c c c} 0 & 1 & -1 \\ 4 & -3 & 4 \\ 3 & -3 & 4 \\ \end{array} \right )$

Từ đó suy ra $A^{2008}$

Giải:

Vì vậy, ta có: A khả nghịch và:

$A^{-1} =$ $\left ( \begin{array}{c c c} 0 & 1 & -1 \\ 4 & -3 & 4 \\ 3 & -3 & 4 \\ \end{array} \right )$ ${= A}$

Từ $A^{-1} = A$ ta có: $A^2 = I_3$ . Do đó: $A^{2008} = (A^2)^{1004} = I_3^{1004} = I_3$

Cực trị (không điều kiện) của hàm 2 biến $\left ( \begin{array}{ccccc} 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ \end{array} \right )$

Cho hàm f(x,y) xác định trong miền D và điểm $M_0(x_0;y_0) \in D$
1. Định nghĩa:

Ta nói $M_0(x_0;y_0)$ là điểm cực tiểu (hoặc cực đại), nếu tồn tại $\varepsilon$ _lân cận của $M_o , B(M_0;\varepsilon)$ sao cho:

$f(x_0,y_0) \le f(x,y) , \forall (x,y) \in B(M_0;\varepsilon) , (x,y) \ne (x_0;y_0)$

( $f(x_0,y_0) \ge f(x,y) , \forall (x,y) \in B(M_0;\varepsilon) , (x,y) \ne (x_0;y_0)$ )

Nếu hàm số f đạt cực đại hay cực tiểu (địa phương) tại $\mathop M_0$ thì ta nói hàm f đạt cực trị (địa phương) tại $\mathop M_0$

Nhận xét:

- Hàm số $\mathop z = f(x;y)$ đạt cực tiểu (cực đại) tại $\mathop M_0(x_0;y_0)$ nếu: ${\Delta}f(x_0;y_0) = f(x_0+{\Delta}x;y_0+{\Delta}y) - f(x_0;y_0) \ge 0 (\le 0), \forall {\Delta}x , {\Delta}y$

- Nếu $\mathop {\Delta}f(x_0;y_0)$ thay đổi dấu khi ${\Delta}x , {\Delta}y$ thay đổi thì hàm số không đạt cực trị tại $M_0$

Ví dụ: Bạn hãy xét xem hàm số $z = x^3 + y^3$ có đạt cực trị tại M(0;0) hay không?

Xét $\mathop N(0+{\Delta}x;0+{\Delta}y)$ là 1 điểm trong lân cận của M(0;0). Ta có:

${\Delta}f(0;0) = f({\Delta}x;{\Delta}y) - f(0;0) = ({\Delta}x)^3 +({\Delta}y)^3$

Với ${\Delta}x > 0 , {\Delta}y > 0 : {\Delta}f(0;0) > 0$

Với ${\Delta}x < 0 , {\Delta}y < 0 : {\Delta}f(0;0) < 0$

Vậy ${\Delta}f(0;0)$ thay đổi dấu nên hàm f không đạt cực trị tại M0.

2. Quy tắc tìm cực trị không điều kiện:

2.1 Định lý (Điều kiện cần)

Nếu hàm $\mathop f(x,y)$ đạt cực trị (địa phương) tại $M_0(x_0; y_0) \in D$ và nếu f có các đạo hàm riêng tại $M_0(x_0; y_0)$ thì:

${ \dfrac{{\partial}f}{{\partial}x}}(x_0;y_0) = { \dfrac{{\partial}f}{{\partial}x}}(x_0;y_0) = 0$

Chứng minh:

Giả sử hàm f đạt cực đại tại $M_0(x_0;y_0)$ (trường hợp hàm f đạt cực tiểu tại M0 hoàn toàn tương tự ).

Khi đó, xét hàm $g(x) =f(x,y_0)$ ta có: $g(x) = f(x;y_0) \le g(x_0) = f(x_0;y_0)$ , với x trong 1 khoảng nào đó chứa x0.

Do đó, hàm g(x) đạt cực đại tại x0. Hay: $g'(x_0) = 0$

Mặt khác: $g'(x_0) = { \dfrac{{\partial}f}{{\partial}x}}(x_0;y_0)$ . Vậy: ${ \dfrac{{\partial}f}{{\partial}x}}(x_0;y_0) = 0$

Tương tự, nếu xét hàm $h(y) = f(x_0;y)$ ta sẽ có: ${ \dfrac{{\partial}f}{{\partial}y}}(x_0;y_0) = 0$

Điểm $\mathop (x_0;y_o)$ mà tại đó ${ \dfrac{{\partial}f}{{\partial}x}}(x_0;y_0) = { \dfrac{{\partial}f}{{\partial}y}}(x_0;y_0) = 0$ , được gọi là điểm dừng.

2.2 Định lý (Điều kiện đủ)

Giả sử hàm số $\mathop z = f(x;y)$ có các đạo hàm riêng đến cấp 2 liên tục trong lân cận của điểm dừng $\mathop M_0(x_0;y_0)$

Đặt: $A = { \dfrac{{\partial}^2f}{{\partial}x^2}}(x_0;y_0) ; B = { \dfrac{{\partial}^2f}{{\partial}x{\partial}y}}(x_0;y_0) ; C = { \dfrac{{\partial}^2f}{{\partial}y^2}}(x_0;y_0)$

Khi đó:

a. Nếu $B^2 - AC < 0$ và $A > 0$ (hay C > 0) thì f đạt cực tiểu tại M0.

b. Nếu $B^2 - AC < 0$ và $A < 0$ (hay C < 0) thì f đạt cực đại tại M0.

c. Nếu $B^2 - AC > 0$ thì f không đạt cực trị tại M0.

d. Nếu $B^2 - AC = 0$ ta chưa kết luận và cần phải xét cụ thể bằng cách dựa vào định nghĩa.

Ta công nhận không chứng minh định lý này. Việc chứng minh định lý này, dựa vào việc khai triển Taylor – Maclaurin cho hàm số 2 biến. Khi đó, ta sẽ xét dấu cho vi phân cấp 2 trong khai triển Taylor. Các bạn có thể xem chi tiết chứng minh và công thức Taylor trong giáo trình Toán học Cao cấp (Tập 3) của tác giả Nguyễn Đình Trí. Tuy nhiên, để xem chứng minh 1 cách dễ hiểu nhất, bạn có thể xem trong cuốn Giải tích toán học của tác giả Pixcunop (tập 2).

Ví dụ 1: Tìm cực trị của hàm số: $z = x^3 + y^3 - 3xy$